sábado, 21 de abril de 2018

Calculando la Superficie de una Parabolica


Calculo aproximado de la superficie del Plato

El calculo de superficies parabolicas implica el manejo de integrales y derivadas, lo que se conoce como calculo infinitesimal. todo esto es idea de Isaac Newton y Gottfried Leibniz, quienes un sabado por la noche se juntaron para pensar y de paso degustar una damajuana de 5 litros de vino tinto y despues de terminarla  les VINO la conocida inspiracion matematica.
Pero para no complicarle la vida a los ftaperos, veremos un calculo aproximado de la superficie que hace unos años circula en el ambiente fta y hasta el dia de hoy no encontre los fundamentos de la misma, si bien los numeros se aproximan a los estimados asi que es cosa de "creer o reventar", como decimos los Argentinos al hablar coloquialmente.

Resumen de formulas empleadas:

DF = distancia focal
DM = diametro de la antena
PI = 3.1416
K = coeficiente ajuste, si corresponde.
x ^ 1.5 = elevar un numero a la potencia 1.5
x ^ 2 = elevar un numero al cuadrado ( x * x)
x ^ 3 = elevar un numero al cubo (x * x * x)
SQRT(x) = raiz cuadrada de un numero
rm = radio del plato parabolico (radio menor en offset)

tambien es bueno saber que...
x ^ 1.5 = x ^ 3/2 = SQRT( x ^ 3)
para los que gustan de las matematicas.

FORMULAS:

A = (1/(DF * 4)) ^ 2
B = A * (DM ^ 2)
C = ((B + 1) ^ 1.5) - 1
D = A * 6
E = (C / D ) * PI * K

Primer ejemplo con antena tipica de banda C:

antena banda C de 180 cm, foco 67.5 cm, profundidad 30 cm

mediante el programa parabola calculator tenemos:

Linear Diam. 1925,18 mm
Diameter        1800,00 mm
Depth             300,00 mm
Focal Length 675,00 mm
Volume         3,8170350741 m3
FLength/Diam 0,38
Area             2,54469 m2

Pasos para el calculo aproximado manual:

el diametro debe estar en metros, lo mismo la distancia focal.

1) Multiplicar la distancia focal de la antena por 4, entonces 0,675 * 4 = 2,7

2) Dividir uno por el nro anterior: 1 / 2,7 = 0.37037037

3) Elevar la respuesta al cuadrado (A): 0.37037037 ^ 2 = 0.13717421097

4) Elevar el diâmetro de la antena al cuadrado: 1.8 ^ 2 = 3.24

5) Multiplicar las respuestas para los Pasos 3 y 4 (B): 0.13717421097 * 3.24 = 0.44444444

6) sumar 1 à su respuesta: 0.44444444 + 1 = 1.44444444

7) elevar la respuesta a la potencia de 1.5: 1.44444444 ^ 1.5 = 1.736
(use la calculadora de google para este calculo, desde www.google.com)

8) restar 1 a la respuesta (C): 1.736 - 1 = 0.736

9) Multiplicar la respuesta del paso 3 por 6 (D): 0.13717421097 * 6 = 0.823

10) Dividir la respuesta del paso 8 por la del paso 9: 0.736 / 0.823 = 0.89428918

11) multiplicar el resultado por PI (E) : 0.89428918 * 3.1416 = 2.80949888

12) si el plato es menor de 2 metros, multiplique el coef. 0,91
por el resultado 11: 0.91 * 2.80949888 = 2.5566 m2 es la superficie


Veamos otro calculo para chequear resultados en un plato Ku.

antena de 90 cm, foco 36.16 cm, profundidad 14 cm

mediante parabola calculator tenemos lo siguiente:

Linear Diam. 954,90 mm
Diameter        900,00 mm
Depth            140,00 mm
Focal Length 361,61 mm
Volume          0,4453207586 m3
FLength/Diam 0,40
Area              0,63617250 m2

Pasos para el calculo aproximado manual:

el diametro debe indicarse en metros, lo mismo la distancia focal.

1) Multiplicar la distancia focal de la antena por 4, entonces 0,36161 * 4 = 1.44644

2) Dividir uno por el nro anterior: 1 / 1.44644 = 0.69135256

3) Elevar la respuesta al cuadrado (A): 0.69135256 ^ 2 = 0.477968

4) Elevar el diâmetro de la antena al cuadrado: 0.90 ^ 2 = 0.81

5) Multiplicar las respuestas para los Pasos 3 y 4 (B): 0.477968 * 0.81 = 0.38715408

6) sumar 1 à su respuesta: 0.38715408 + 1 = 1.38715408

7) elevar la respuesta a la potencia de 1.5: 1.38715408 ^ 1.5 = 1,63375547
(use la calculadora de google para este calculo desde www.google.com)

8) restar 1 a la respuesta (C):1,63375547 - 1 = 0,63375547

9) Multiplicar la respuesta del paso 3 por 6 (D): 0.477968 * 6 = 2,867808

10) Dividir la respuesta del paso 8 por la del paso 9: 0.63375547 / 2,867808 = 0.220989

11) multiplicar el resultado por PI (E): 0.220989 * 3.1416 = 0.694259

12) si el plato es menor de 2 metros, multiplique el coef. 0,91
por el resultado 11: 0.91 * 0.694259 = 0.6317 m2 es la superficie


El tercer calculo de pruebas:

antena banda C de 320 cm, foco 128 cm, profundidad 50 cm

mediante el programa parabola calculator tenemos:

Linear Diam.   3396,87 mm
Diameter         3200,00 mm
Depth              500,00 mm
Focal Length 1280,00 mm
Volume          20,10619298 m3
FLength/Diam 00,40
Area              8,042477 m2

Pasos para el calculo aproximado manual:

el diametro debe estar en metros, lo mismo la distancia focal.

1) Multiplicar la distancia focal de la antena por 4, entonces 128 * 4 =5.12

2) Dividir uno por el nro anterior: 1 / 5.12 = 0.001953125

3) Elevar la respuesta al cuadrado (A): 0.001953125 ^ 2 = 0.00000381469

4) Elevar el diâmetro de la antena al cuadrado: 3.2 ^ 2 = 10.24

5) Multiplicar las respuestas para los Pasos 3 y 4 (B): 0.00000381469 * 10.24 = 0.00003906242

6) sumar 1 à su respuesta: 0.00003906242 + 1 = 1.00003906242

7) elevar la respuesta a la potencia de 1.5: 1.00003906242 ^ 1.5 = 1.0000585942
(use la calculadora de www.google.com para ese calculo)

8) restar 1 a la respuesta (C): 1.0000585942 - 1 = 0.0000585942

9) Multiplicar la respuesta del paso 3 por 6 (D): 0.00000381469 * 6 = 0.00002288814

10) Dividir la respuesta del paso 8 por la del paso 9: 0.0000585942 / 0.00002288814 = 2.5600245367

11) multiplicar el resultado por PI (E): 2.5600245367 * 3.1416 = 8.0425 m2
para platos de 3 o 4 metros el resultado es bastante exacto, no requiere coeficiente.

Otro ejemplo de calculo de antena de banda Ku:

diametro 60 cm, profundidad 9.4 cm, distancia focal 23,936 cm

Linear Diam. 637,10
Diameter        600,00
Depth            94,00
Focal Length 239,36
Volume          13288936,92
FLength/Diam 00,40
Area              0,282743

Pasos para el calculo aproximado manual:

el diametro debe indicarse en metros, lo mismo la distancia focal.

1) Multiplicar la distancia focal de la antena por 4, entonces 0,23936 * 4 = 0.95744

2) Dividir uno por el nro anterior: 1 / 0.95744 = 1.04445187

3) Elevar la respuesta al cuadrado (A): 1.04445187 ^ 2 = 1.0908797

4) Elevar el diâmetro de la antena al cuadrado: 0.60 ^ 2 = 0.36

5) Multiplicar las respuestas para los Pasos 3 y 4 (B): 1.0908797 * 0.36 = 0.39271669

6) sumar 1 à su respuesta: 0.39271669 + 1 = 1.39271669

7) elevar la respuesta a la potencia de 1.5: 1.39271669 ^ 1.5 = 1.64359257
(use la calculadora de google para este calculo desde www.google.com)

8) restar 1 a la respuesta (C):1.64359257 - 1 = 0.64359257

9) Multiplicar la respuesta del paso 3 por 6 (D): 1.0908797 * 6 = 6.5452728

10) Dividir la respuesta del paso 8 por la del paso 9: 0.64359257 / 6.5452728 = 0.098329

11) multiplicar el resultado por PI (E): 0.098329 * 3.1416 = 0.30891

12) si el plato es menor de 2 metros, multiplique el coef. 0,91
por el resultado 11: 0.91 * 0.30891 = 0.281108 m2 es la superficie

Espero que hayan disfrutado del calculo aproximado de la superficie del plato parabolico. generalmente el dato de la superficie del plato se usa mas para dispositivos parabolicos que concentren calor, sonido,luz y ondas electromagneticas como este caso.

En el caso de antenas parabolicas, la superficie que interesa para el calculo de la ganancia de apertura es la que se presenta al satelite y que consiste en un "circulo plano" igual al diametro del plato en antenas de foco central y un "circulo plano" de diametro igual al diametro menor en antenas offset. ese dato es el que se usa en el calculo de la ganancia de apertura de la antena. en ese caso la superficie de apertura es la del circulo, S = PI * (Rm ^ 2) , siendo PI de un valor estimado de 3.1416 y rm, el radio menor de la antena elevado al cuadrado.

En proximas entregas, veremos otra forma de calculo mas compleja si encuentro la manera de simplificar el calculo para el comun de los mortales.

Saludos Cordiales
FTApinamar

martes, 10 de abril de 2018

Antenas Cassegrain (3)


ADAPTANDO UNA ANTENA 
FOCO CENTRAL A CASSEGRAIN

Aplicamos las formulas del post anterior a modo de ejemplo. Usamos como base una antena tipica como la que puede haber en un hogar ftapero, tipo foco central de 180 cm que puede ser grillada o maciza.

consideramos:
Dm = Diametro del plato principal = 1800 mm
PP = Profundidad del plato principal = 300 mm
Ds = Diametro del plato secundario = 100 mm
Fc = distancia entre el foco de ambos platos = 190 mm
PP = profundidad del plato

CALCULANDO EL F/D

F/D = Dm/(16 * PP)
F/D = 1800/(16 * 300)
F/D = 1800/4800
F/D = 0.375 casi 0.38

CALCULANDO LA DISTANCIA FOCAL

Fm = Dm * (F/D)
Fm = 1800 * 0.375
Fm = 675 mm

es ARCTAN = INV TAN

CALCULANDO EL ANGULO (fi v) fv

Fv = ARCTAN [ (Dm / 2) / (Fm – PP) ]
Fv = ARCTAN [ (1800 / 2) / (675 – 300) ]
Fv = ARCTAN [ (900) / (375) ]
Fv = ARCTAN (2.4)
Fv = 67.38013505 °

CALCULANDO EL ANGULO (fi r) fr

(1 / TAN fv) + (1 / TAN fr) = 2 * (Fc / Ds)
(1 / TAN 67.3801°) + (1 / TAN fr) = 2 * (190 / 100)
(1 / 2.4 ) + (1 / TAN fr) = 2 * (1.9)
0.4166 + (1 / TAN fr) = 3.8
(1 / TAN fr) =  3.8 - 0.4166
(1 / TAN fr) =  3.3834
fr = ARCTAN(1 / 3.3834)
fr = ARCTAN(0.295560678)
fr = 16.4656 °

CALCULANDO LA DISTANCIA Lv
es ½ = 0.50

1 - [ SIN ½ (fv - fr) / SIN ½ (fv + fr) ] = 2 (Lv / Fc)
1 - [ SIN ½ (67.3801 – 16.4656) / SIN ½ (67.3801 + 16.4656) ] = 2 (Lv / 190)
1 - [ SIN ½ (50.9145) / SIN ½ (83.8457) ] = 2 (Lv / 190)
1 - [ SIN(25.4573) / SIN(41.9228) ] = 2 (Lv / 190)
1 – (0.31889 / 0.88256767) = 2 (Lv / 190)
1 - 0.36132= 2 (Lv / 190)
0.63868 = 2 (Lv / 190)
Lv = (0.63868 / 2) * 190
Lv = 60.6746

CALCULANDO LA EXENTRICIDAD ‘E’

E = SIN ½ (fv + fr) / SIN ½ (fv - fr)
E = SIN ½ (67.3801 + 16.4656) / SIN ½ (67.3801 – 16.4656)
E = SIN ½ (83.8457) / SIN ½ (50.9145)
E = SIN(41.92285) / SIN(25.45725)
E = 0.882967 / 0.318843
E = 2.76928

CALCULANDO EL VALOR ‘A’

A = Fc / 2E
A = 190 / (2 * 2.76928)
A = 190 / (5.53856)
A = 34.3049

CALCULANDO EL VALOR ‘B’

B = A * SQRT(E ^ 2 –1)
B = 34.3049 * SQRT( (2.76928) ^ 2 – 1)
B = 34.3049 * SQRT(6.6689117184)
B = 34.3049 * 2.58242361
B = 88.58978


CALCULANDO LA CURVA 
DEL PLATO PRINCIPAL (PARABOLA)

Xm = (Ym)^ 2 / 4 * (Fm)

PARA Ym = 50
Xm = (50)^ 2  / 4 * (375)
Xm = (50 * 50) / 1500
Xm = 2500 /1500
Xm = 1.6666

Luego repetir diferentes valores de Ym para obtener los de Xm y  trazar la curva sobre un eje de coordenadas cartesianas.

CALCULANDO LA CURVA 
DEL SUB PLATO (HYPERBOLA)

Xs = A * [ SQRT(1 + (Ys / B)  ^ 2) – 1 ]

Para Ys = 10
Xs = 34.3049 * [ SQRT( 1 + (10 / 88.58978) ^ 2) – 1 ]
Xs = 34.3049 * [ SQRT( 1 + (0.1128798 ^ 2)) – 1 ]
Xs = 34.3049  * [ SQRT( 1 + 0.012741849) – 1 ]
Xs = 34.3049  * [ SQRT(1.012741849) – 1 ]
Xs = 34.3049  * [ 1.0063507584 – 1 ]
Xs = 34.3049  * (0.0063507584)
Xs = 0.21786

Luego repetir para diferentes valores de Ys para obtener los de Xs y  trazar la curva sobre un eje de coordenadas cartesianas.

CALCULANDO LA LONGITUD FOCAL 
EQUIVALENTE Fe

Fe / Fm = (E + 1) / (E –1)
Fe / 675 = (2.76928  + 1) / (2.76928  – 1)
Fe / 675 = 3.76928 / 1.76928
Fe / 675 = 2.13
Fe = 2.13 * 675
Fe = 1437.75

CALCULANDO LA CURVA 
DEL PLATO VIRTUAL (PARABOLA)

Xe = (Ye ^ 2) / (4 * Fe)

para Ye = 50
Xe = (50 ^ 2) / (4 * 1437.75)
Xe = 2500 / 5751
Xe = 0.4347

Luego repetir para diferentes valores de Ye para obtener los de Xe y trazar la curva sobre un eje de coordenadas cartesianas.


Estos son los calculos basicos aplicados. Despues viene la parte mas dificil, que es la mecanica de la modificacion y que debe ser realizada con suma prolijidad y ajustada a los calculos realizados. Se habran dado cuenta que lo mas critico es la curvatura del plato secundario. He visto que ya vienen algunos platos secundarios pulidos para este fin y se adapta la antena a ellos. Se me ocurre que asi resuelven el punto mas "delicado" del montaje, dado que es un plato muy pequeño y cualquier minimo error debe ser mortal.

Saludos Cordiales
FTApinamar